รถด่วน 999,999

ปัญหา

น้ำใสบอกกับใจจริงว่า เขาสามารถหาผลบวกของจำนวนที่มี 6 หลัก หลาย ๆ จำนวนได้อย่างถูกต้องรวดเร็ว โดยกำหนดกติกาว่า ใจจริงและน้ำใสจะสลับกันเขียนจำนวนที่มี 6 หลัก คนละ 1 จำนวน และใจจริงเป็นผู้เขียนจำนวนที่มี 6 หลัก จำนวนสุดท้ายอีก 1 จำนวน นำใสจะเป็นคนบอกผลบวกของจำนวนทั้งหมดได้อย่างรวดเร็ว เช่น

ใจจริง   453,812
น้ำใส 564,187
ใจจริง 267,053
น้ำใส 732,946
ใจจริง 813,445
น้ำใส 186,554
ใจจริง 471,635

ใจจริงบอกให้น้ำใสหาผลบวกทั้งหมด
น้ำใสบอกผลบวก 3,471,632

ผลบวกของน้ำใสถูกต้องหรือไม่ น้ำใสมีวิธีคิดลัดอย่างไร

วิเคราะห์ปัญหา

ตัวเลขในแต่ละหลักของจำนวนที่น้ำใสเขียน กับตัวเลขในหลักเดียวกันของจำนวนที่ใจจริงเขียน จะบีผลบวกเท่ากับ 9 ทุกหลัก ดังนั้น ผลบวกของจำนวนที่ใจจริงและน้ำใสเขียนสลับกัน แต่ละคู่จะมีผลบวกเท่ากับ 999,999 เสมอ

ใจจริงและน้ำใสผลัดกันเขียนสามคู่ ผลบวกของจำนวนสามคู่นี้คือ

3x999,999 = 3x (1,000,000-1)
= 3,000,000-3

เมื่อใจจริงเขียนจำนวนสุดท้าย คือ 471,635 น้ำใสหาผลบวกทั้งหมด

(3,000,000 - 3) + 471,635 = 3,471,632

ซึ่งมีวิธีคิดลัดโดยนำ 3 ไปลบออกจากจำนวนที่ใจจริงเขียนจำนวนสุดท้าย แล้วเติมตัวเลข 3 ในตำแหน่งหลักล้านของผลลัพธ์ที่ได้

พัฒนาปัญหา

1. เปลี่ยนแปลงจำนวนครั้งในการหาผลบวก ใจจริงกับน้ำใสจะสลับกันเขียนจำนวนที่มี 6 หลักกี่ครั้งก็ได้ และใจจริงเป็นผู้เขียนจำนวนที่มี 6 หลัก จำนวนสุดท้าย น้ำใสจะสามารถหาผลบวกได้อย่างรวดเร็วเช่นเดิม ด้วยวิธีการข้างต้น

2. เปลี่ยนแปลงจำนวนหลักของจำนวนที่นำมาหาผลบวก จำนวนที่กำหนดอาจเป็นจำนวนที่มีจำนวนหลักเป็นอย่างอื่นก็ได้ แต่ทุกจำนวนที่เขียนต้องมีจำนวนหลักเท่ากัน
ตัวอย่าง
ใจจริง 3,467
น้ำใส 6,532
ใจจริง 1,508
น้ำใส 8,491
ใจจริง 5,230
น้ำใส 4,769
ใจจริง 6,012
น้ำใส 3,987
ใจจริง 1,644

ผลบวกทั้งหมดหาได้ โดยนำ 4 ไปลบจากจำนวนที่ใจจริงเขียนจำนวนสุดท้าย แล้วเติมตัวเลข 4 ในตำแหน่งหลักหมื่นของผลลัพธ์ที่ได้ เพราะว่ามีใจจริงและน้ำใสสลับกันเขียนอยู่สี่คู่ คำตอบคือ 41,640

บทสรุป

1. การหาคำตอบของปัญหานั้ใช้วิธีการสังเกตุจากตัวอย่าง แล้วตรวจสอบซ้ำ

2. สมบัติทางคณิตศาสตร์ที่นำใช้ในปัญหานี้ เช่น
9 = 10 - 1
99 = 100 - 1
999 = 1,000 - 1
...
999,999 = 1,000,000 - 1

การคิดคำนวณที่เกี่ยวข้องกับ 9,99,..999,999 ในหลายกรณี เมื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูป 10 - 1 (เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก) จะคิดคำนวณได้ง่ายกว่า

ที่มา: ปรีชา เนาว์เย็นผล, รศ., คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช

วารสาร สสวท.